Question

【题目】（1）讨论函数f (x)＝x＋－2的单调性；

（2）证明：函数g (x)＝－lnx有极小值点x0，且g (x0)∈(0，)．

Answer 1

【答案】（1）在(－∞，－) ，(，＋∞)单调递增，在(－，0) ，(0，) 单调递减．

（2）见解析.

【解析】

（1）对函数求导，对分成和两类，讨论函数的单调区间.（2）对函数求导，注意到其导函数是递增函数，用二分法判断出导函数有唯一零点，设这个零点为，即，由此得到，化简，由（1）可求得的取值范围.

（1）f (x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f′(x)＝．

若a≤0，则f′(x)＞0，f (x)在(－∞，0) ，(0，＋∞)单调递增．

若a＞0，当x＜－或x＞－时，f′(x)＞0；

当－＜x＜0或0＜x＜时，f′(x)＜0．所以f (x)在(－∞，－) ，(，＋∞)单调递增，

在(－，0) ，(0，) 单调递减．

（2）g (x)定义域(0，＋∞)，g′ (x)＝－在 (0，＋∞)单调递增．

由g′ (1)＝－1＜0，g′ (2)＝＞0，故g′ (x)在(0，＋∞)存在唯一零点x0，且x0∈(1，2)．

当x∈(1，x0)时，g′ (x)＜0；当x∈(x0，＋∞)时，g′ (x)＞0．所以g (x)≥g (x0)．

又由g′ (x0)＝0，可得＝，所以lnx0＝2－x0．

可得g (x0)＝x0＋－2，由（1）知g (x0)＝x0＋－2在(1，2)单调递增，所以g (x0) ∈(0，)．