Question

在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，若

m

=（sin2

B+C

2

，1），

n

=（-2，cos2A+1），且

m

⊥

n

．
（Ⅰ）求角A的度数；
（Ⅱ）当a=2

3

，且△ABC的面积S=

a2+b2-c2

4 3

时，求边c的值和△ABC的面积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）△ABC中，利用两个向量垂直的性质可得可得

m

•

n

=（2cosA+1）（cosA-1）=0，求得cosA 的值，即可得到A的值．
（Ⅱ）由△ABC的面积S=

a2+b2-c2

4 3

=

1

2

ab•sinC，以及余弦定理cosC=

a2+b2-c2

2ab

，求得tanC的值，可得C的值，从而得到B的值．再由正弦定理求得c=2．根据△ABC的面积S=

1

2

ac•sinB，运算求得结果．

解答：解：（Ⅰ）△ABC中，由

m

=（sin2

B+C

2

，1），

n

=（-2，cos2A+1），且

m

⊥

n

，
可得

m

•

n

=-2sin2

B+C

2

+cos2A+1=cos（B+C）-1+cos2A+1=2cos²A-cosA-1=（2cosA+1）（cosA-1）=0，
∴cosA=-

1

2

 或cosA=1（舍去），∴A=120°．
（Ⅱ）∵a=2

3

，且△ABC的面积S=

a2+b2-c2

4 3

=

1

2

ab•sinC，由余弦定理可得 cosC=

a2+b2-c2

2ab

，
∴tanC=

3

3

，∴C=30°，∴B=30．
再由正弦定理可得

a

sinA

=

c

sinC

，即

2 3

sin120°

=

c

sin30°

，解得c=2．
∴△ABC的面积S=

1

2

ac•sinB=

1

2

×2

3

×2×

1

2

=

3

．

点评：本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量的数量积公式的应用，两个向量垂直的性质，以及正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．