Question

18．已知函数f（x）=tanx-sinx，下列命题中正确的是②③（写出所有正确命题的序号）
①f（x）的周期为π；              ②f（x）的图象关于点（π，0）对称；
③f（x）在（$\frac{π}{2}，π$）上单调递增；   ④f（x）在（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）上有3个零点．

Answer 1

分析 由条件利用诱导公式，正弦函数、正切函数的单调性以及它们的图象的对称性，函数零点的定义，逐一判断它们的正确性，从而得出结论．

解答 解：①错误．∵f（x+π）=tan（x+π）-sin（x+π）=tanx+sinx；f（x+π）=f（x）不恒成立，故f（x）的周期不是π．
②正确．∵f（π+x）+f（π-x）=tan（π+x）-sin（π+x）+tan（π-x）-sin（π-x）=tanx+sinx-tanx+sinx=0，故f（x）的图象关于点（π，0）对称．
③正确．∵y=tanx在$（\frac{π}{2}，π）$上单调递增，y=sinx在$（\frac{π}{2}，π）$上单调递减，故f（x）=tanx-sinx在（$\frac{π}{2}，π$）上单调递增．
④错误．在同一坐标系中作出函数y=tanx和y=sinx在区间$（-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}）$上的图象，
由图象探知共有1个交点（或在该区间上解方程tanx-sinx=0，得仅有一个根x=0）．
故答案为：②③．

点评 本题主要考查诱导公式，正弦函数、正切函数的单调性以及它们的图象的对称性，函数零点的定义，属于基础题．