Question

设双曲线C：－y²＝1的左、右顶点分别为A₁、A₂，垂直于x轴的直线m与双曲线C交于不同的两点P、Q．

（1）若直线m与x轴正半轴的交点为T，且·＝1，求点T的坐标；

（2）求直线A₁P与直线A₂Q的交点M的轨迹E的方程；

（3）过点F（1，0）作直线l与（2）中的轨迹E交于不同的两点A、B，设＝λ·，若λ∈[－2，－1]，求|＋|（T为（1）中的点）的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2，0）（2）（3）

【解析】(1)由双曲线方程可得A₁, A₂,设直线m的方程为x=a,代入椭圆方程求出P,Q的坐标，再根据·＝1建立关于a的方程，求出a值，从而求出T点坐标.

(2)设出直线m:x=a,然后求出P、Q的坐标，再求出直线A₁P与直线A₂Q方程，从而解方程组求出交点M的参数方程，消去参数a之后即可得到点M的轨迹E的普通方程.

（3）容易验证直线l的斜率不为0.故可设直线l的方程为  中，得，再根据韦达定理可得y₁,y₂与k的两个关系式，再根据得到,从而可知

问题互此转化为关于k的函数来解决即可.

解：（1）由题，得，设

则

由  …………①

又在双曲线上，则   …………②

联立①、②，解得    由题意，

∴点T的坐标为（2，0）   …………3分

（2）设直线A₁P与直线A₂Q的交点M的坐标为（x，y）

由A₁、P、M三点共线，得   …………③

由A₂、Q、M三点共线，得    …………④

联立③、④，解得    ∵在双曲线上，

∴∴轨迹E的方程为  …………8分

（3）容易验证直线l的斜率不为0.故可设直线l的方程为  中，得   设

则由根与系数的关系，得  ……⑤      ……⑥  

∵ ∴有      将⑤式平方除以⑥式，得

   由

  ………………10分

∵

又

故……………….12分

令    ∴，即         ∴

而 ，  ∴

∴…………………….14分