题目内容
数列{an}的前n项和为Sn，若数列{an}的各项按如下规律排列：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，…，
，
，…，
，…有如下运算和结论：①
；②
③数列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…是等比数列
④数列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…的前n项和为
；⑤若存在正整数k，使Sk＜10，Sk+1＞10，则
．在后面横线上填写出所有你认为正确运算结果或结论的序号 ．
【答案】分析：根据数列的规律，分母为n时，所对应的项数是（n-1）项．从分母是2开始到分母为n结束共有
项
①前23项构成的数列是：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
…
，则第23项一目了然．
②易知：前11项构成的数列是：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，再求和便知正误．
③数列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…实际上是
，1，
，2，…
，再由数列定义判断
④数列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…实际上是
，1，
，2，…
，先判断数列类型，再用求其前n项和．
⑤通过④的前n项和解不等式，确定k的值，从而再判断终止的项．
解答：解：①前23项构成的数列是：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
…
∴
，故不正确；
②由数列可知：前11项构成的数列是：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴s11=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
，故正确；
③数列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…是
，1，
，2，
由等差数列定义
（常数），所以是等差数列，故不正确．
④∵数列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…是
，1，
，2，…
．
由③知是等差数列，所以由等差数列前n项和公式可知：
，故正确；
⑤由④知数列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，a11+a12+a13+a14+a15，a16+a17+a18+a19+a20+a21，是
，1，
，2，
，
+
+…+
∴T5=7.5＜10，T6=10.5＞10，∴
，正确．
故答案为：②④⑤
点评：本题主要考查探究数列的规律，转化数列，构造数列来研究相应数列通项和前n项和问题，这种题难度较大，必须从具体到一般地静心研究，再推广到一般得到结论．
项①前23项构成的数列是：
，，，，，，，，，，…，则第23项一目了然．②易知：前11项构成的数列是：
，，，，，，，，，，，再求和便知正误．③数列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…实际上是
，1，，2，…，再由数列定义判断④数列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…实际上是
，1，，2，…，先判断数列类型，再用求其前n项和．⑤通过④的前n项和解不等式，确定k的值，从而再判断终止的项．
解答：解：①前23项构成的数列是：
，，，，，，，，，，…∴
，故不正确；②由数列可知：前11项构成的数列是：
，，，，，，，，，，∴s11=
++++++++++=，故正确；③数列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…是
，1，，2，由等差数列定义
（常数），所以是等差数列，故不正确．④∵数列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…是
，1，，2，…．由③知是等差数列，所以由等差数列前n项和公式可知：
，故正确；⑤由④知数列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，a11+a12+a13+a14+a15，a16+a17+a18+a19+a20+a21，是
，1，，2，，
++…+∴T5=7.5＜10，T6=10.5＞10，∴
，正确．故答案为：②④⑤
点评：本题主要考查探究数列的规律，转化数列，构造数列来研究相应数列通项和前n项和问题，这种题难度较大，必须从具体到一般地静心研究，再推广到一般得到结论．
练习册系列答案
相关题目