Question

如图：已知四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁的底面是正方形，O₁、O分别是上、下底面的中心，A₁O⊥平面ABCD.   （1）求证：平面O₁DC⊥平面ABCD； （2）若点E在棱AA₁上，且AE=2EA₁，

问在棱BC上是否存在点F，使得EF⊥BC？若存在，求出其位置；若不存在，说明理由.

Answer 1

证明：（1）连结AC、BD、A₁C₁则AC、BD的交点，O₁为

A₁C₁中点

∴四边形ACC₁A₁为平行四边形，

∴四边形A₁O₁CO为平行四边形…………2分

∴A₁O//CO₁

∵A₁O⊥平面ABCD

∴O₁C⊥平面ABCD…………………………4分

∵O₁C平面O₁DC

∴存在点平面O₁DC⊥平面ABCD……………5分

（2）F为BC的三等分点B（靠近B）时，有EF⊥BC……………………6分

过点E作EH⊥AC于H，连FH、EF//A₁O

∵平面A₁AO⊥平面ABCD

∴EH⊥平面ABCD

又BC平面ABCD   ∴BC⊥EH ①

∴HF//AB     ∴HF⊥BC， ②

由①②知，BC⊥平面EFH∵EF平面EFH    ∴EF⊥BC…………………………12分