Question

【题目】已知函数 在区间[﹣ ， ]上有f（x）＞0恒成立，则a的取值范围为（ ）
A.（0，2]
B.[2，+∞）
C.（0，5）
D.（2，5]

Answer 1

【答案】C
【解析】解：∵函数f（x）=ax3﹣ x2+1，（x∈R，a＞0）

∴f′（x）=3ax2﹣3x，

由f′（x）=0，得x=0，或x= ，

①当 ≥ ，0＜a≤2时，

∵f（﹣ ）= ﹣ ，f（ ）= + ，f（0）=1，

∴在区间[﹣ ， ]上，f（x）min= ﹣ ，

∵在区间[﹣ ， ]上，f（x）＞0恒成立，

∴f（x）min= ﹣ ＞0，解得a＜5，

∴0＜a≤2．

②当 ＜ ，a＞2时，

∵f（﹣ ）= ﹣ ，f（ ）= + ，f（0）=1，f（ ）=1﹣ ，

∴在区间[﹣ ， ]上，f（x）min= ﹣ ，

∵在区间[﹣ ， ]上，f（x）＞0恒成立，

∴f（x）min= ﹣ ＞0，解得a＜5，

∴2＜a＜5．

综上所述，a的取值范围是（0，5），

故选：C．

【考点精析】本题主要考查了函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．