题目内容

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a_n=2ⁿ；{b_n}为首项是2的等差数列，且b₃•S₅=372．
（1）求{b_n}的通项公式；
（2）设{b_n}的前n项和为T_n，求 $数学公式$ 的值．

解：（1）∵a_n=2ⁿ，
∴{a_n}是首项为2公比为2的等比数列．
∴ $\text{[math]}$ …（2分）
又∵b₃•S₅=372，
∴b₃=6，…（3分）
∵{b_n}为首项是2的等差数列．
∴b₃=2+2d=6，
∴d=2，…（4分）
∴b_n=2+2（n-1）=2n（n∈N^*）．…（6分）
（2）∵b_n=2n，
∴ $\text{[math]}$ …（8分）
∴ $\text{[math]}$ …（10分）
∴ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ …（12分）
分析：（1）由a_n=2ⁿ，知{a_n}是首项为2公比为2的等比数列．由此能求出S₅，再由b₃•S₅=372，能求出b₃．由{b_n}为首项是2的等差数列，能求出b_n．
（2）由b_n，知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，由裂项求和法能求出 $\text{[math]}$ =的值．
点评：本题考查数列的通项公式的求法和求数列的前n项和，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，注意裂项求和法的灵活运用．