Question

已知等比数列{a_n}的首项为l，公比q≠1，S_n为其前n项和，a_l，a₂，a₃分别为某等差数列的第一、第二、第四项．
（I）求a_n和S_n；
（Ⅱ）设b_n=log₂a_n+1，数列{}的前n项和为T_n，求证：．

Answer 1

【答案】分析：（I）由题意可得a₃-a₂=2（a₂-a₁），结合等比数列的通项公式表示已知，解方程可求q，进而利用等比数列的通项公式可求通项及和
（II）由（I）可知，b_n=log₂a_n+1=n，代入==（），利用裂项求和方法即可求解T_n，可证明
解答：解：（I）a_l，a₂，a₃分别为某等差数列的第一、第二、第四项
∴a₃-a₂=2（a₂-a₁）
∴
∵a₁=1
∴q²-3q+2=0
∴q=2
∴a_n=2^n-1
=2ⁿ-1
（II）由（I）可知，b_n=log₂a_n+1=n
∴==（）
∴T_n=
=
=
点评：本题主要考查了等差数列的性质及等比数列的通项公式的应用，数列的裂项求和方法的应用