Question

已知函数f（x）=kx+2，k≠0的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，且

AB

=（1，2），函数g（x）=x²-x-6．当x满足不等式f（x）≥g（x）+4，时，求函数y=

g(x)+1

f(x)+2

的值域．

Answer 1

分析：先求出A，B的坐标，根据条件求出k，然后解不等式即可求函数的值域．

解答：解：（1）当x=0时，y=2，当y=0时，x=-

2

k

，即A（-

2

k

，0），B（0，2），
又

AB

=(1，2)，∴

AB

=(

2

k

，2)，

2

k

=2，∴k=2，
即f（x）=2x+2．
又f（x）≥g（x）+4，
即2x+2≥x²-x-6+4，
∴x²-3x-4≤0，
解得-1≤x≤4，即x∈[-1，4]，
∴y=

x2-x-5

2x+4

=

1

2

[(x+2)+

1

x+2

-5]，
设t=x+2，则t∈[1，6]，
∵t+

1

t

在[1，6]上单调递增，
∴2≤t+

1

t

≤6+

1

6

，
-3≤t+

1

t

-5≤

7

6

，
∴y=

1

2

[(x+2)+

1

x+2

-5]=

1

2

(t+

1

t

-5)∈[-

3

2

，

7

12

]，
∴函数y=

g(x)+1

f(x)+2

的值域为[-

3

2

，

7

12

]．

点评：本题主要考查一次函数的应用，一元二次不等式的解法，以及基本不等式的应用，综合性较强．