Question

若对x，y∈[1，2]，xy=2，总有不等式2-x≥

a

4-y

成立，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：先根据均值不等式求得：（2-x）（4-y）的最大值，要使不等式2-x≥

a

4-y

成立，需（2-x）（4-y）≥a成立．求出（2-x）（4-y）的最小值即可．

解答：解：2-x≥

a

4-y

，即a≤（2-x）（4-y）恒成立，只需a≤（2-x）（4-y）的最小值
而（2-x）（4-y）=8-4x-2y+xy
=8-（4x+2y）+2
=10-（4x+2y）
=10-（4x+

4

x

）
令f（x）=10-（4x+

4

x

）    x∈[1，2]
则导数f'（x）=-（4-

4

x2

）=

4(1-x2)

x2

≤0
故f（x）在x∈[1，2]是减函数
所以当x=2时取最小值0
即（2-x）（4-y）的最小值为0
所以a≤0

点评：本题主要考查了本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．属基础题．