Question

已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的一个焦点，并与双曲线的实轴垂直，已知抛物线与双曲线的交点为(

3

2

，

6

)．
（1）求抛物线的方程；
（2）求双曲线的方程．

Answer 1

分析：（1）首先根据抛物线的准线过双曲线的焦点，可得p=2c，再利用抛物线与双曲线同过交点(

3

2

，

6

)，求出c、p的值，
（2）进而结合双曲线的性质a²+b²=c²，求解即可得双曲线的方程．

解答：解：（1）由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，
∴p=2c．设抛物线方程为y²=4c•x，
∵抛物线过点(

3

2

，

6

)，∴6=4c•

3

2

．
∴c=1，
故抛物线方程为y²=4x．
（2）由（1）得p=2，…（5分）
所以，所求双曲线的一个焦点为（1，0），c=1…（9分）
设所求双曲线方程为

x2

a2

-

y2

1-a2

=1，
代入点(

3

2

，

6

)，得a2=

1

4

…（12分）
故双曲线的方程为：4x²-

4y2

3

=1．

点评：本题考查了抛物线和双曲线方程的求法：待定系数法，熟练掌握圆锥曲线的性质是解题的关键，同时考查了学生的基本运算能力与运算技巧．