题目内容

已知向量
a
=(
2
cos(α+β)，
2
sin(α+β))，
b
=(-sinβ，cosβ)，若向量
a
与
b
的夹角为
5π
6
，且α∈(
3π
2
，2π)，求cos(2α+
π
4
)的值．
分析：利用两个向量的夹角公式及α的范围求出α，可求cos2α和sin2α，利用 两角和的余弦公式求出cos(2α+
π
4
)  的值．
解答：解：∵|
a
|=
2
，|
b
|=1，cos
5π
6
=-
3
2
=
a
•
b
|
a
|•|
b
|
=
-
2
cos(α+β)sinβ+
2
sin(α+β)cosβ
2
×1

=sinα，∴sinα=-
3
2
．又α∈(
3π
2
，2π)，∴α=
5π
3
． cos2α=2cos2α-1=-
1
2
，
sin2α=2sinα cosα=-
3
2
，
∴cos(2α+
π
4
)=cos2αcos
π
4
-sin2αsin
π
4
=-
1
2
×
2
2
+
3
2
×
2
2
=
6
-
2
4
．
点评：本题考查两个向量的数量积公式，两角和差的余弦公式的应用，求出α 值是解题的关键和难点．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=(2cosα，2sinα)，
b
=(3cosβ，3sinβ)，若向量
a
与
b
的夹角为60°，求cos（α-β）的值．
已知向量
a
=(2cosθ，2sinθ)，θ∈(
π
2
，π)，
b
=(0，-1)，则向量
a
与
b
的夹角为（　　）
已知向量
a
=(2cosθ，1)，
b
=(sinθ+cosθ，1)，- 
π
2
＜θ＜
π
2

（I）若
a
∥
b
，求θ的值
（II）设f（θ）=
a
•
b
，求函数f（θ）的最大值及单调递增区间．
已知向量
a
=(2cosωx，1)，
b
=(sinωx+cosωx，-1)，（ω∈R，ω＞0），设函数f(x)=
a
•
b
(x∈R)，若f（x）的最小正周期为
π
2
．
（1）求ω的值；
（2）求f（x）的单调区间．
（2010•马鞍山模拟）已知向量
a
=(2cos，2sinx)，向量
b
=(
3
cosx，-cosx)，函数f(x)=
a
•
b
-
3
．
（1）求函数f（x）（2）的最小正周期；
（3）求函数f（x）（4）的单调递增区间；
（5）求函数f（x）（6）在区间[
π
12
，
7π
12
]（7）上的值域．

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