Question

已知函数f（x）=ax³-3x²，a≠0．
（Ⅰ）对a≠0讨论求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数g（x）=e^xf（x）在[0，2]上单调递减，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x）=ax³-3x²（a≠0）⇒f′（x）=3ax²-6x=3x（ax-2），分a＞0与a＜0讨论，通过f′（x）的符号即可求得函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）依题意，可求得g′（x）=xe^x[ax²+（3a-3）x-6]，令h（x）=ax²+（3a-3）x-6，依题意，通过对a的符号的讨论，解

h(0)≤0 h(2)≤0

即可求得实数a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=ax³-3x²，a≠0，
∴f′（x）=3ax²-6x=3x（ax-2），
∴当a＞0时，
由f′（x）＞0得：x＞

2

a

或x＜0，
由f′（x）＜0得：0＜x＜

2

a

；
当a＜0时，由f′（x）＞0得：

2

a

＜x＜0，
由f′（x）＜0得：x＜

2

a

或x＞0；
∴当a＞0时，函数f（x）的单调递增区间为（-∞，0），（

2

a

，+∞）；函数f（x）的单调递减区间为（0，

2

a

）；
当a＜0时，函数f（x）的单调递增区间为（

2

a

，0），函数f（x）的单调递减区间为（-∞，

2

a

），（0，+∞）；
（Ⅱ）∵g（x）=e^xf（x）=e^x（ax³-3x²），
∴g′（x）=e^x（ax³-3x²）+e^x（3ax²-6x）=xe^x[ax²+（3a-3）x-6]，
令h（x）=ax²+（3a-3）x-6，
∵g（x）=e^x（ax³-3x²）在[0，2]上单调递减，
∴当a＞0时，

h(0)≤0 h(2)≤0

解得0＜a≤

6

5

；
当a＜0时，由

h(0)≤0 h(2)≤0

解得a＜0；
∴实数a的取值范围是（-∞，0）∪（0，

6

5

]．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，突出考查分类讨论思想与等价转化思想的综合运用，属于难题．