Question

如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形，底面ABCD是菱形，∠ADC=60°，点P在底面ABCD上的射影为△ACD的重心，点M为线段PB上的点．
（1）当点M为PB的中点时，求证：PD∥平面ACM；
（2）当平面CDM与平面CBM夹角的余弦值为

2

3

时，试确定点M的位置．

Answer 1

分析：（1）设AC、BD的交点为I，连结MI，根据I、M分别为BD、BP的中点，可得PD∥MI，利用线面平行的判定定理，即可证明PD∥平面ACM；
（2）设CD的中点为O，分别以OA、OC为x轴、y轴，过O点垂直平面ABCD的直线为z轴建立空间直角坐标系，求出平面CDM的法向量、平面CBM的法向量，利用向量的数量积公式，结合平面CDM与平面CBM夹角的余弦值为

2

3

时，即可确定点M的位置．

解答：（1）证明：设AC、BD的交点为I，连结MI，
因为I、M分别为BD、BP的中点，所以PD∥MI，
又MI在平面ACM内，所以PD∥平面ACM；     
（2）解：设CD的中点为O，分别以OA、OC为x轴、y轴，过O点垂直平面ABCD的直线为z轴建立空间直角坐标系，则A(

3

，0，0)，B(

3

，2，0)，C（0，1，0），D（0，-1，0），P(

3

3

，0，

2 6

3

)，
设

BM

=λ

BP

(0＜λ＜1)，
则

CM

=

CB

+

BM

=

CB

+λ

BP

=(

3

-

2 3

3

λ，1-2λ，

2 6

3

λ)，

DC

=(0，2，0)，

BC

=(-

3

，-1，0)
设平面CDM的法向量为

m

，则

( 3 - 2 3 3 λ)x1+(1-2λ)y1+ 2 6 3 λz1=0 2y1=0

，
可取

m

=（1，0，

-3 2 +2 2 λ

4λ

）
同理可得平面CBM的法向量为

n

=(1，-

3

，-

2

)．
所以|cos＜

m

，

n

＞|=

|m • n |

| m || n |

=

3 2λ

6 × 24λ2-24λ+18 4λ

=

2

3

，
解得λ=

1

4

或λ=

3

4

，
所以点M为PB四等分点，靠近点B或点P．

点评：本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查用向量方法解决数学问题的能力．