Question

已知：在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，连接DO并延长交AC的延长线于点E，⊙O的切线DF交AC于F点．
（Ⅰ）试证明：AF=CF；
（Ⅱ）若ED=4，sin∠E=

3

5

，求CE的长．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因为根据圆的切线知：FD=CF，要证AF=CF，只要证AF=FD即可，这个等式可以通过角∠A和∠ADF之间的关系得到证明三角形ADF是等腰三角形而得到；
（II）先在直角三角形FED中利用三角函数的边角关系求出FE，再利用线段之间的关系CE=FE-FC，求出CE即可．

解答：证明：（Ⅰ）设线段FD延长线上一点G，则∠GDB=∠ADF，且∠GDB+∠BDO=

π

2

，
∴∠ADF+∠BDO=

π

2

，（2分）
又∵⊙O中OD=OB，
∴∠BDO=∠OBD，
∴∠ADF+∠OBD=

π

2

，
在Rt△ABC中，
∴∠A+∠OBD=

π

2

，∠A=∠ADF，
∴AF=FD，
又在直角三角形ABC中，直角边BC为⊙O的直径，
∴AC为⊙O的切线，又FD为⊙O的切线，
∴FD=CF，
∴AF=CF．（5分）
（Ⅱ）解：∵直角三角形FED中，ED=4，sin∠E=

3

5

，
∴cos∠E=

4

5

，
∴FE=5，（8分）
又FD=3=FC，
∴CE=2．（10分）

点评：本题考查了切线的性质，解三角形等的综合运用．属于基础题．