Question

如图，在四棱锥P﹣ABCD中，CD∥AB，AD⊥AB，BC⊥PC， ．
（1）求证：PA⊥BC
（2）试在线段PB上找一点M，使CM∥平面PAD，并说明理由．

Answer 1

解：（1）连接AC，过C作CE⊥AB，垂足为E，
在四边形ABCD中，AD⊥AB，CD∥AB， AD=DC，
所以四边形ADCE是正方形．
所以∠ACD=∠ACE=45°
因为AE=CD= AB，
所以BE=AE=CE
所以∠BCE═45°
所以∠ACB=∠ACE+∠BCE=90°
所以AC⊥BC，
又因为BC⊥PC，AC∩PC=C，AC平面PAC，PC平面PAC
所以BC⊥平面PAC，而PA平面PAC，所以PA⊥BC．
（2）当M为PB中点时，CM∥平面PAD，
证明：取AP中点为F，连接CM，FM，DF．
则FM∥AB，FM= AB，
因为CD∥AB，CD= AB，
所以FM∥CD，FM=CD．
所以四边形CDFM为平行四边形，所以CM∥DF，
因为DF平面PAD，CM平面PAD，
所以，CM∥平面PAD．