Question

如果f（x₀）是函数f（x）的一个极值，称点（x₀，f（x₀））是函数f（x）的一个极值点．已知函数f（x）=（ax-b）e

a

x

（x≠0且a≠0）
（1）若函数f（x）总存在有两个极值点A，B，求a，b所满足的关系；
（2）若函数f（x）有两个极值点A，B，且存在a∈R，求A，B在不等式|x|＜1表示的区域内时实数b的范围．
（3）若函数f（x）恰有一个驻点A，且存在a∈R，使A在不等式

|x|＜1 |y|＜e2

表示的区域内，证明：0≤b＜1．

Answer 1

（1）f′(x)=a•e

a

x

+(ax-b)(-

a

x2

)•e

a

x

令f'（x）=0得x²-ax+b=0
∵函数f（x）总存在有两个极值点
∴x²-ax+b=0由2个不同的实数根
∴a²-4b＞0
又∵a≠0且x≠0
∴b＜

a2

4

且b≠0（3分）
（2）x²-ax+b=0在（-1，1）有两个不相等的实根．
即

△=a2-4b＞0 -1＜ a 2 ＜1 1+a+b＞0 1-a+b＞0

得

4b＞a2 a2＜4 b＜-1

∴-1＜b＜1且b≠0（7分）
（3）由①f'（x）=0?x²-ax+b=0（x≠0）
①当b=0f′(x)=a•e

a

x

•

x2-ax+b

x2

在x=a左右两边异号
∴（a，f（a））是y=f（x）的唯一的一个极值点
由题意知

-1＜a＜1且a≠0 -e＜(a2-b)e＜e

即

0＜a2＜1 -1＜a2＜1

即0＜a²＜1
存在这样的a的满足题意
∴b=0符合题意（9分）
②当b≠0时，f′（x）=

a•e a x

x2

(x2-ax+b)
△=a²-4b=0即4b=a²
这里函数y=f（x）唯一的一个驻点为(

a

2

，f(

a

2

))
由题意

| 1 2 a|＜1且a≠0 -e＜ a2 2 -b＜e

即

0＜a2＜4 -e 1 2 ＜ a2 2 -b＜e 1 2

即

0＜4b＜4 -e 1 2 ＜b＜e 1 2

∴0＜b＜1（13分）
综上知：满足题意b的范围为b∈[0，1）．（14分）