Question

在平面直角坐标系xoy中，已知四点A（2，0），B（-2，0），C（0，-2），D（-2，-2），把坐标系平面沿y轴折为直二面角．
（1）求证：BC⊥AD；
（2）求二面角C-AD-O的大小；
（3）求三棱锥C-AOD的体积．

Answer 1

分析：（1）根据翻折前后有些几何量不变可知BC⊥OD，折起后OD为AD在面BOCD上的射影，由三垂线定理知BC⊥AD；
（2）设BC交OD于E点，过E作EF⊥DA于F，连接CF，则CF⊥AD，根据二面角平面角的定义可知∠CFE为所求二面角的平面角，在三角形CFE中求出此角即可；
（3）先将三棱锥C-AOD的体积转化成求三棱锥A-COD的体积，再利用体积公式进行求解即可．

解答：解：（1）∵BOCD为正方形，
∴BC⊥OD，折起后OD为AD在面BOCD上的射影，由三垂线定理知：BC⊥AD（3分）

（2）设BC交OD于E点，过E作EF⊥DA于F，连接CF，则CF⊥AD，
则∠CFE为所求二面角的平面角．
显然CE=

2

，在Rt△AOD中，OA=2，OD=2

2

，则AD=2

3

，EF=

1

2

•

OA•OD

AD

=

6

3

，
∴tan∠CFE=

CE

EF

=

3

，∴∠CFE=60°
∴二面角C-AD-O的大小为60°
（3）VC-AOD=VA-COD=

1

3

(

1

2

×2×2)×2=

4

3

（12分）

点评：本题主要考查了三垂线定理，以及二面角的度量和体积的求解等有关知识，同时考查了空间想象能力、计算能力、推理能力，以及转化与划归的思想，属于中档题．