Question

（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 

已知数列是首项，公比的等比数列，设，常数，数列．  

（1）求证：是等差数列；   

（2）若是递减数列，求t的最小值； 

（3）是否存在正整数k，使重新排列后成等比数列？若存在，求k，t的值；若不

存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）由题意知，，……………………………………………………1分

因为， 

∴数列是首项为，公差的等差数列．……………………………4分

  （2）由（1）知，，，

恒成立，即恒成立，……………7分

因为是递减函数，

所以，当n=1时取最大值，，…………………………………9分

因而，因为，所以．………………………………………………………10分

   （3）记，，

，．

①若是等比中项，则由得化简得，解得或（舍），……………………………………11分

所以，因而……………………………………………………………13分

及．…………………………………………………………………………………14分

②若是等比中项，则由得化简得

，显然不成立．………………………………………………………16分

③若是等比中项，则由得化简得，因为不是完全不方数，因而，x的值是无理数，显然不成立．…………………………………18分