Question

已知数列{a_n}是首项为a且公比q不等于1的等比数列，S_n是其前n项的和，a₁，2a₇，3a₄成等差数列．
（I）证明12S₃，S₆，S₁₂-S₆成等比数列；
（II）求和T_n=a₁+2a₄+3a₇+…+na_3n-2．

Answer 1

（Ⅰ）证明：由a₁，2a₇，3a₄成等差数列，得4a₇=a₁+3a₄，
即4aq⁶=a+3aq³．
变形得（4q³+1）（q³-1）=0，
又∵公比q不等于1，所以4q³+1=0
由

S6

12S3

=

a1(1-q6) 1-q

12a1(1-q3) 1-q

=

1+q3

12

=

1

16

．

S12-S6

S6

=

S12

S6

-1=

a1(1-q12) 1-q

a1(1-q6) 1-q

-1=1+q6-1=q6=

1

16

．
得

S6

12S3

=

S12-S6

S6

．
所以12S₃，S₆，S₁₂-S₆成等比数列．
（Ⅱ）T_n=a₁+2a₄+3a₇+…+na_3n-2=a+2aq³+3aq⁶+…+naq^3（n-1）．
即Tn=a+2•(-

1

4

)a+3•(-

1

4

)2a+…+n•(-

1

4

)n-1a．①
①×(-

1

4

)得：-

1

4

Tn=-

1

4

a+2•(-

1

4

)2a+3•(-

1

4

)3a+…+(n-1)•(-

1

4

)n-1a+n(-

1

4

)na…②．
①-②得

5

4

Tn=

a[1-(- 1 4 )n]

1-(- 1 4 )

-n•(-

1

4

)na=

4

5

a-(

4

5

+n)•(-

1

4

)na．
所以Tn=

16

25

a-(

16

25

+

4

5

n)•(-

1

4

)na．