Question

在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，离心率为

1

2

，右准线为l：x=4．M为椭圆上不同于A，B的一点，直线AM与直线l交于点P．
（1）求椭圆C的方程；  
（2）若

AM

=

MP

，求

BM

•

BP

；
（3）连结PB并延长交椭圆C于点N，若直线MN垂直于x轴，求点M的坐标．

Answer 1

分析：（1）由已知可得

c a = 1 2 a2 c =4

，及b²=a²-c²解得即可；
（2）由（1）可得A（-2，0），x_P=4．由

AM

=

MP

，利用中点坐标公式可得x_M，代入椭圆可得y_M．再利用数量积运算即可得出．
（3）由于MN垂直于x轴，由椭圆对称性可设M（x₁，y₁），N（x₁，-y₁）．可得直线AM的方程与直线BN的方程，利用交点P的坐标，得出点M的坐标．

解答：解：（1）由已知可得

e= c a = 1 2 a2 c =4 b2=a2-c2

，解得

a=2，c=1 b2=3

．
∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）由（1）可得A（-2，0），x_P=4．
∵

AM

=

MP

，∴x_M=

-2+4

2

=1，代入椭圆得

1

4

+

y 2 M

3

=1，
解得y_M=±

3

2

，即M（1，±

3

2

），
∴直线AM为：y=±

1

2

（x+2），得P（4，±3），
∴

BM

=（-1，±

3

2

），

BP

=（2，±3）． 
∴

BM

•

BP

=-1×2+

3

2

×3=

5

2

，或

BM

•

BP

=-1×2-

3

2

×(-3)=

5

2

．
（3）∵MN垂直于x轴，由椭圆对称性可设M（x₁，y₁），N（x₁，-y₁）．
直线AM的方程为：y=

y1

x1+2

（x+2），∴y_p=

6y1

x1+2

，
直线BN的方程为：y=

-y1

x1-2

（x-2），∴y_p=

-2y1

x1-2

，
∴

6y1

x1+2

=

-2y1

x1-2

．
∵y₁≠0，∴

6

x1+2

=-

2

x1-2

．
解得x₁=1．
∴点M的坐标为（1，±

3

2

）．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、数量积运算、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法，属于难题．