Question

（本大题13分）已知函数（为常数）
（1）若在区间上单调递减，求的取值范围；
（2）若与直线相切：
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）设在处取得极值，记点M (,)，N(,)，P(), , 若对任意的m (, x)，线段MP与曲线f(x)均有异于M,P的公共点，试确定的最小值，并证明你的结论.

Answer 1

(1)      (2)    (i)a=-3 ， ii) 2.

(1)根据在上恒成立，然后再分离常数转化为最值问题来解决.
（2）（i）与直线相切可知切点（x₀,-9）在f(x)的图像上，并且,
从而可求出切点坐标，及a值.
（ii）先求出MN的坐标，进而求出MN的直线方程，然后再与y=f(x)联立消去y得到关于x的一元三次方程，说明此方程在区间[x_M,x_N]上有实数解，再构造函数利用导数确定其图像从而确定t的取值范围，确定出t的最小值.
(1)      (2)    (i)a=-3 
ii)

即
又因为,所以m 的取值范围为(2,3)
又因为,所以m 的取值范围为(2,3)
从而满足题设条件的的最小值为2. ………….