题目内容

设f（x）=ln（x+1）+ax，（a∈R且a≠0）．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若a=1，证明： $数学公式$ 成立．

（Ⅰ）解：函数f（x）的定义域为（0，+∞）， $\text{[math]}$
当a＞0时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数；
当a＜0时，由f′（x）＞0得 $\text{[math]}$ ；由f′（x）＜0得 $\text{[math]}$
∴函数f（x）在（ $\text{[math]}$ ）上是增函数，在 $\text{[math]}$ 上是减函数；
（Ⅱ）a=1时，f（x）=ln（x+1）+x
要证 $\text{[math]}$ 成立，由于x＞0，则只需证明xlnx+x²-3x-1＜0在x∈[1，2]时恒成立．
令g（x）=xlnx+x²-3x-1，则g′（x）=lnx+2x-2
设h（x）=lnx+2x-2，则∵x∈[1，2]，∴ $\text{[math]}$
∴函数h（x）在x∈[1，2]时单调递增
∵h（1）=0，∴g′（x）≥0
∴函数g（x）在x∈[1，2]时单调递增
∴g（x）≤g（2）=2ln2-3＜0
∴xlnx+x²-3x-1＜0在x∈[1，2]时恒成立
∴ $\text{[math]}$ 成立．
分析：（Ⅰ）确定函数f（x）的定义域，求导函数，分类讨论，利用导数的正负，可得函数的单调区间；
（Ⅱ）要证 $\text{[math]}$ 成立，由于x＞0，则只需证明xlnx+x²-3x-1＜0在x∈[1，2]时恒成立，构造函数，确定函数的单调性，即可得证．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，考查不等式的证明，确定函数的单调性是关键．

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（Ⅱ）若当1≤x≤

，f（x）≥0恒成立，求实数m的取值范围．

设f（x）=ln（x+1），（x＞-1）
（1）讨论函数g(x)=af(x)-

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（2）求证：(1+