Question

（2012•青浦区一模）定义在R上的奇函数f（x）有最小正周期4，且x∈（0，2）时，f（x）=

2x

4x+1

．
（1）判断并证明f（x）在（0，2）上的单调性，并求f（x）在[-2，2]上的解析式；
（2）当λ为何值时，关于x的方程f（x）=λ在[2，6]上有实数解？

Answer 1

分析：（1）由f（x）是x∈R上的奇函数，得f（0）=0．再由最小正周期为4，得到（2）和f（-2）的值．然后求（-2，0）上的解析式，通过在（-2，0）上取变量，转化到（0，2）上，即可得到结论．
（2）根据条件把问题转化为求函数f（x）在[-2，2]上的值域问题即可．

解答：（本题满分16分） 本题共有2个小题，第1小题满分（10分），第2小题满分（6分）．
解：（1）f（x）在（0，2）上为减函数．                         …（2分）
证明如下：设0＜x₁＜x₂＜2
则2x1-2x2＜0，1-2x1+x2＜0，（4x1+1）（4x2+1）＞0．
∴f（x₁）-f（x₂）=

2x1

4x1+1

-

2x2

4x2+1

=

(2x1-2x2)(1-2x1+x2)

(4x1+1)(4x2+1)

＞0．
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在（0，2）上为减函数．                 …（4分）
当-2＜x＜0时，0＜-x＜2，f（-x）=

2-x

4-x+1

=

2x

4x+1

又f（x）为奇函数，∴f（x）=-f（-x）=-

2x

4x+1

．，…（6分）
当x=0时，由f（-0）=-f（0）⇒f（0）=0                     …（7分）
∵f（x）有最小正周期4，∴f（-2）=f（-2+4）=f（2）⇒f（-2）=f（2）=0…（9分）
综上，f（x）=

2x 4x+1               0＜x＜2 0                        x=0，±2 - 2x 4x+1             -2＜x＜0

（2）f（x）周期为4的周期函数，关于方程f（x）=λ在[2，6]上有实数解的λ的范围即为求函数f（x）在[-2，2]上的值域．                 …（11分）
当x∈（0，2）时由（1）知，f（x）在（0，2）上为减函数，
∴

4

17

=f（2）＜f（x）＜f（0）＜

1

2

，
当x∈（-2，0）时，f（x）∈（-

1

2

，-

4

17

）          …（13分）
当x∈{-2，0，2}时，f（x）=0                  …（14分）
∴f（x）的值域为（-

1

2

，-

4

17

）∪{0}∪（

4

17

，

1

2

）      …（15分）
∴λ∈（-

1

2

，-

4

17

）∪{0}∪（

4

17

，

1

2

）时方程方程f（x）=λ在[2，6]上有实数解．…（16分）

点评：本题主要考查如何利用求对称区间上的解析式，特别注意端点问题，还考查了用定义证明单调性求分段函数值域问题．