题目内容
【题目】若函数
满足：集合
中至少存在三个不同的数构成等比数列，则称函数
是等比源函数．
（
）判断下列函数：①
；②
；③
中，哪些是等比源函数？（不需证明）
（
）判断函数
是否为等比源函数，并证明你的结论．
（
）证明： 
， 
，函数
都是等比源函数．
【答案】（
）①②③均为等比源函数．（
）函数
不是等比源函数（
）见解析
【解析】试题分析：（1）直接举例说明题目给出的三个函数都是“等比源函数”；（2）利用反证法思想，假设存在正整数
， 
， 
，且
，是
， 
， 
成等比数列，推出矛盾，从而证明函数f（x）=2x+1不是等比源函数；（3）首先证明数列{g（n）}为等差数列，然后验证g（1），g[g（1）+1]，g[2g（1）+g（1）d+1]构成等比数列，从而说明结论的正确性．
试题解析：
（
）①当
取
， 
， 
时， 
得
， 
， 
构成等比数列，∴
是等比源函数．
②当
取
， 
， 
时， 
得
， 
， 
构成等比数列，∴
是等比源函数．
③当
取
， 
， 
时， 
得
， 
， 
构成等比数列，∴
是等比源函数．
综上①②③均为等比源函数．
（
）函数
不是等比源函数，
证明如下：
假设存在正整数
， 
， 
，且
，是
， 
， 
成等比数列，∴
，
，∴
，等式两边同除以
，
∴
，又∵
， 
，
∴等式左边为偶数，等式右边为奇数，∴
不可能成立，
故假设不成立，
∴
不是等比源函数．
（
）证明：∵
， 
，都有
，
∴
， 
，数列
都是以
为首项，公差为
的等差数列，
， 
， 
， 
， 
成等比数列，
∴
，
，
，
∴
， 
， 
，
∴
， 
，函数
都是等比源函数．
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