题目内容

设数列{an}满足an＞0，（n∈N+），其前n项和为Sn，且
a
3
1
+
a
3
2
+
a
3
3
+…+
a
3
n
=
S
2
n

（1）求an+1与Sn之间的关系，并求数列{an}的通项公式；
（2）令Tn=
1
a1
a
 
2
+
1
a2
a
 
3
+…+
1
an
a
 
n+1
，求证：
n
i=1
[(1-
Ti
Ti+1
)
1
Ti+1
]＜2(
2
-1)．．
分析：（1）利用
a
3
1
+
a
3
2
+
a
3
3
+…+
a
3
n
=
S
2
n
，可得
a
3
1
+
a
3
2
+
a
3
3
+…+
a
3
n+1
=
S
2
n+1
，两式相减，即可求得an+12-an+1=2Sn，再写一式，两式相减，即可证得数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，从而可求数列{an}的通项公式；
（2）根据
1
anan+1
=
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
，可得Tn=(1-
1
2
)+(
1
2
-
1
3
)+…+(
1
n
-
1
n+1)
=
n
n+1
，从而可证(1-
Ti
Ti+1
)
1
Ti+1
=(
1
Ti
-
1
Ti+1
)
Ti
Ti+1
＜2(
1
Ti
-
1
Ti+1
)，即可得出结论．
解答：解：（1）由已知得，当n=1时，a13=S12=a12，
又∵an＞0，∴a1=1
∵
a
3
1
+
a
3
2
+
a
3
3
+…+
a
3
n
=
S
2
n
①，
a
3
1
+
a
3
2
+
a
3
3
+…+
a
3
n+1
=
S
2
n+1
②
②-①an+13=
S
2
n+1
-Sn2
∵an+1＞0，∴Sn+1+Sn=an+12
∴an+1+2Sn=an+12
∴an+12-an+1=2Sn①
当n≥2时，an2-an=2Sn-1②
①-②（an-an-1-1）（an+an-1）=0
∵an+an-1＞0，∴an-an-1=1（n≥2）
故数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列．
∴an=n（n∈N*）
（2）∵
1
anan+1
=
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1

∴Tn=(1-
1
2
)+(
1
2
-
1
3
)+…+(
1
n
-
1
n+1)
=
n
n+1

∵
Ti
Ti+1
=
i(i+2)
(i+1)2
＜1，∴(1-
Ti
Ti+1
)
1
Ti+1
=(
1
Ti
-
1
Ti+1
)
Ti
Ti+1
＜2(
1
Ti
-
1
Ti+1
)
∴
n
i=1
[(1-
Ti
Ti+1
)
1
Ti+1
]＜2(
1
T1
-
1
Tn+1
)=2(
2
-
n+2
n+1
)＜2(
2
-1)
点评：本题考查的是数列与不等式的综合题，考查裂项法求和，考查放缩法的运用．在解答的过程当中充分体现了数列通项与前n项和的知识．
练习册系列答案
相关题目
设数列{an}满足a1=1，且对任意的n∈N*，点Pn（n，an）都有
.
PnPn+1
=(1，2)，则数列{an}的通项公式为（　　）
（2013•日照一模）若数列{bn}：对于n∈N*，都有bn+2-bn=d（常数），则称数列{bn}是公差为d的准等差数列．如：若cn=
4n-1，当n为奇数时
4n+9，当n为偶数时.
则{cn}是公差为8的准等差数列．
（I）设数列{an}满足：a1=a，对于n∈N*，都有an+an+1=2n．求证：{an}为准等差数列，并求其通项公式：
（Ⅱ）设（I）中的数列{an}的前n项和为Sn，试研究：是否存在实数a，使得数列Sn有连续的两项都等于50．若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．
（2013•日照一模）若数列{bn}：对于n∈N*，都有bn+2-bn=d（常数），则称数列{bn}是公差为d的准等差数列．如数列cn：若cn=
4n-1，当n为奇数时
4n+9，当n为偶数时
，则数列{cn}是公差为8的准等差数列．设数列{an}满足：a1=a，对于n∈N*，都有an+an+1=2n．
（Ⅰ）求证：{an}为准等差数列；
（Ⅱ）求证：{an}的通项公式及前20项和S20．
设数列{an}满足a1=1，a2+a4=6，且对任意n∈N*，函数f（x）=（an-an+1+an+2）x+an+1?cosx-an+2sinx满足f′(
π
2
)=0若cn=an+
1
2an
，则数列{cn}的前n项和Sn为（　　）
A、
n2+n
2
-
1
2n
B、
n2+n+4
2
-
1
2n-1
C、
n2+n+2
2
-
1
2n
D、
n2+n+4
2
-
1
2n
设数列{an}满足：a1=2，an+1=1-
1
an
，令An=a1a2…an，则A2013=（　　）

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