Question

(16分)已知：数列，中，=0，=1，且当时，，，成等差数列，，，成等比数列.

（1）求数列，的通项公式；

（2）求最小自然数，使得当≥时，对任意实数，不等式≥恒成立；

（3）设 （∈），求证：当≥2都有＞2.

Answer 1

 解析：(1) ∵当∈时，，，成等差数列，，，成等比数列.

∴2=+, =.         ………………………………………2分

又∵，，∴≥0，≥0 , 且,

∴（≥２）,………………………………………………4分

∴数列是等差数列，又,∴,也适合.

∴， .   ………………………………………………………6分

(2) 将，代入不等式≥   （）

整理得：≥0  ………………………………………………8分

令，则是关于的一次函数，

由题意可得    ∴  ，解得≤1或≥3. 

∴存在最小自然数，使得当≥时，不等式（）恒成立．…………………10分

(3) 由(1)得：…＋.∴，（≥2），

∴              …………………………………………………12分

由（）+（）+…＋（）

…＋）…＋，

即：…＋）…＋  ……………………14分

∵…＋＜…＋

=…＋

=＜1

∴当n≥2时，＞2（…＋）． ……………………………………16分