Question

如图，已知正方形ABCD的边长为1，过正方形中心O的直线MN分别交正方形的边AB，CD于M，N，则当最小时，CN=________．

Answer 1

分析：通过三角形的全等，求出x的值，利用方程有解，推出t的范围，然后求解即可求得结论．
解答：易证△AOM≌△CON，则AM=CN=x
设CN=x，经过点N作NE⊥AB
则四边形NEBC为矩形
∴NE=BC=1，BE=CN=x
则ME=（1-x）-x=1-2x（或2x-1）
∴MN²=EM²+EN²=2-4x+4x²
BN²=BC²+CN²=1+x²
令2-4x+4x²=t（1+x²），整理
﹙t-4﹚x²+4x+t-2=0有实根
∴16-4（t-4）（t-2）≧0
解得：3-≤t≤3+
∴当 取最小值时，
即t取最小值3-，x=
即CN=，
故答案为：
点评：本题考查学生分析解决问题的能力，考查学生的探究能力，属于中档题．