Question

（2012•贵州模拟）已知函数f(x)=

x2+a

ex

(x∈R)(e是自然对数的底数，e≈2.71）
（1）当a=-15时，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在区间[

1

e

，e]上是增函数，求实数a的取值范围；
（3）证明

1+12

e

+

1+22

e2

+

1+32

e3

+…+

1+n2

en

＜

5n

4 e

对一切n∈N^*恒成立．

Answer 1

分析：（1）求导函数，由f′（x）＞0，可得函数的单调增区间；由f′（x）＜0，可得函数的单调减区间
（2）求导函数，根据f（x）在区间[

1

e

，e]上是增函数，转化为（x-1）²≤1-a在区间[

1

e

，e]上恒成立，求出x∈[

1

e

，e]时，（x-1）²的最大值，即可求得实数a的取值范围；
（3）令a=1，则f(x)=

x2+1

ex

，可得f（x）在（-∞，+∞）上为减函数，对于任意k∈N^*，都有k＞

1

2

，故有f(k)＜f(

1

2

)，从而可证结论．

解答：（1）解：当a=-15时，f（x）=（x²-15）e^-x
求导函数，可得f′（x）=-（x-5）（x+3）e^-x
令f′（x）=0得x=-3或x=5
由f′（x）＞0，可得-3＜x＜5；由f′（x）＜0，可得x＜-3或x＞5
∴函数的单调增区间为（-3，5），减区间为（-∞，-3），（5，+∞）
（2）解：f′（x）=-（x²-2x+a）e^-x
∵f（x）在区间[

1

e

，e]上是增函数，∴f′（x）=-（x²-2x+a）e^-x≥0在区间[

1

e

，e]上恒成立
∴（x-1）²≤1-a在区间[

1

e

，e]上恒成立
当x∈[

1

e

，e]时，（x-1）²的最大值为（e-1）²，∴（e-1）²≤1-a
∴a≤2e-e²
∴实数a的取值范围为（-∞，2e-e²]；
（3）证明：令a=1，则f(x)=

x2+1

ex

，
∴f′（x）=-（x-1）²e^-x≤0
∴f（x）在（-∞，+∞）上为减函数，对于任意k∈N^*，都有k＞

1

2

，故有f(k)＜f(

1

2

)
即

k2+1

ek

＜

5

4 e

⇒

n

k=1

k2+1

ek

＜

5n

4 e

即

1+12

e

+

1+22

e2

+

1+32

e3

+…+

1+n2

en

＜

5n

4 e

．                          …（12分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查不等式的证明．恒成立问题通常利用分离参数法，利用函数的最值求解．