Question

已知圆C：x²+y²+2x-4y+3=0．
（1）若圆C的切线在x轴、y轴上的截距相等，求切线的方程；
（2）从圆C外一点P（x₁，y₁）向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使|PM|最小的点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）圆的方程化为标准方程，求出圆心与半径，再分类讨论，设出切线方程，利用直线是切线建立方程，即可得出结论；
（2）先确定P的轨迹方程，再利用要使|PM|最小，只要|PO|最小即可．

解答：解：（1）由方程x²+y²+2x-4y+3=0知（x+1）²+（y-2）²=2，所以圆心为（-1，2），半径为

2

．
当切线过原点时，设切线方程为y=kx，则

|k+2|

k2+1

=

2

，所以k=2±

6

，即切线方程为y=（2±

6

）x．
当切线不过原点时，设切线方程为x+y=a，则

|-1+2-a|

2

=

2

，所以a=-1或a=3，即切线方程为x+y+1=0或x+y-3=0．
综上知，切线方程为y=（2±

6

）x或x+y+1=0或x+y-3=0；
（2）因为|PO|²+r²=|PC|²，所以x₁²+y₁²+2=（x₁+1）²+（y₁-2）²，即2x₁-4y₁+3=0．
要使|PM|最小，只要|PO|最小即可．
当直线PO垂直于直线2x-4y+3=0时，即直线PO的方程为2x+y=0时，|PM|最小，
此时P点即为两直线的交点，得P点坐标（-

3

10

，

3

5

）．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．