Question

定义在[-1，1]上的奇函数f（x）满足f（1）=1，且当a、b∈[-1，1]，a+b≠0时，有

f(a)+f(b)

a+b

＞0．
（1）证明：f（x）是[-1，1]上的增函数；
（2）若f（x）≤m²+2am+1对所有的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

（1）任取x₁、x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）
∵

f(x1)+f(-x2)

x1+(-x2)

＞0，
即

f(x1)+f(-x2)

x1+(-x2)

[x1+(-x2)]（2分）
∵x₁+（-x₂）＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0．
则f（x）是[-1，1]上的增函数． （5分）
（2）要使f（x）≤m²+2am+1对所有的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，
只须f（x）_max≤m²+2am+1，即1≤m²+2am+1对任意的a∈[-1，1]恒成立，
亦即m²+2am≥0对任意的a∈[-1，1]恒成立．令g（a）=2ma+m²，
只须

g(-1)=-2m+m2≥0 g(1)=2m+m2≥0

，
解得m≤-2或m≥2或m=0，即为所求．       （12分）