Question

（05年湖南卷）（14分）

如图1，已知ABCD是上．下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO₁折成直二面角，如图2.

　　（Ⅰ）证明：AC⊥BO₁；

（Ⅱ）求二面角O－AC－O₁的大小.

 

 

Answer 1

解析：（I）证明 由题设知OA⊥OO₁，OB⊥OO₁.

       所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，

       即OA⊥OB. 故可以O为原点，OA、OB、OO₁

              所在直线分别为轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

       如图3，

则相关各点的坐标是A（3，0，0），

       B（0，3，0），C（0，1，）

       O₁（0，0，）.

       从而

       所以AC⊥BO₁.

（II）解：因为所以BO₁⊥OC，

由（I）AC⊥BO₁，所以BO₁⊥平面OAC，是平面OAC的一个法向量.

设是0平面O₁AC的一个法向量，

由    得.

设二面角O―AC―O₁的大小为，由、的方向可知，>，

      

 所以cos，>=

       即二面角O―AC―O₁的大小是