Question

已知函数f(x)=2

3

sin(π-x)+2sin(

3π

2

+x)
（1）若x∈[0，π]，求f（x）的值域；
（2）若x₀为函数y=f（x）的一个零点，求

2cos2 x0 2 -sinx0-1

2 sin(x0+ π 4 )

的值．

Answer 1

f（x）=2

3

sinx-2cosx=4sin（x-

π

6

），
令t=x-

π

6

，则y=4sint，
∵x∈[0，π]，∴t∈[-

π

6

，

5π

6

]，
则由三角函数的图象知f（x）∈[-2，4]；
（2）∵x₀为函数y=f（x）的一个零点，
∴f（x₀）=4sin（x₀-

π

6

）=2

3

sinx₀-2cosx₀=0，
∴tanx₀=

3

3

，
∴

2cos2 x0 2 -sinx0-1

2 sin(x0+ π 4 )

=

cosx0-sinx0

sinx0+cosx0

=

1-tanx0

1+tanx0

=

1- 3 3

1+ 3 3

=2-

3

．