Question

设椭圆C₁：的左、右焦点分别是F₁、F₂，下顶点为A，线段OA的中点为B（O为坐标原点），如图，若抛物线C₂：y=x²-1与y轴的交点为B，且经过F₁，F₂点．
（Ⅰ）求椭圆C₁的方程；
（Ⅱ）设M（0，），N为抛物线C₂上的一动点，过点N作抛物线C₂的切线交椭圆C₁于P、Q两点，求△MPQ面积的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意可知B（0，-1），则A（0，-2），故b=2，
令y=0，得即x=±1，
则F₁(-1，0)，F₂(1，0)，故c=1，
所以，，
于是椭圆C₁的方程为：．
（Ⅱ）设N（），由知，
直线PQ的方程为：，即，
代入椭圆方程整理，得，
 =，
∴，，
故
，
设点M到直线PQ的距离为d，则，
所以，△MPQ的面积
S
，
当t=±3时取到“=”，经检验此时△＞0，满足题意；
综上可知，△MPQ的面积的最大值为．