题目内容

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₁= $数学公式$ ，a_n+2S_nS_n-1=0（n≥2）．
（1）判断 $数学公式$ 是否为等差数列？并证明你的结论；
（2）求S_n和a_n；
（3）求证： $数学公式$ ．

解：（1）S₁=a₁= $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=-2S_nS_n-1，∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ 为等差数列，首项为2，公差为2…（4分）
（2）由（1）知 $\text{[math]}$ =2+（n-1）×2=2n，∴ $\text{[math]}$ …（6分）
当n≥2时， $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ …（9分）
（3） $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ …（13分）
分析：（1）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=-2S_nS_n-1，两边同除以S_nS_n-1，可得 $\text{[math]}$ ，从而可得 $\text{[math]}$ 为等差数列；
（2）由（1）知 $\text{[math]}$ 是以首项为2，公差为2的等差数列，从而可得S_n，利用a_n+2S_nS_n-1=0（n≥2），可求a_n；
（3）利用 $\text{[math]}$ ，表示S₁²+S₂²+…+S_n²，利用放缩法变为 $\text{[math]}$ ，从而利用裂项法求和，即可证得．
点评：本题的考点是数列与不等式的综合，主要考查数列的通项的求解，关键是利用当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，巧妙构建新数列，同时考查放缩法，考查裂项法求和，有一定的综合性．