题目内容

已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1  (a＞b＞0)的离心率是
3
2
．
（1）证明：a=2b；
（2）设点P为椭圆上的动点，点A(0，
3
2
)，若|
AP
|的最大值是
7
，求椭圆的方程．
（1）证明：设椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1  (a＞b＞0)的半焦距为c．
因为椭圆的离心率是
3
2
，所以 
c2
a2
=
a2-b2
a2
=1-
b2
a2
=
3
4
，即a=2b．      
（2）设点P（x，y）．
则|
AP
|2=x2+(y-
3
2
)2=a2(1-
y2
b2
)+y2-3y+
9
4
=4b2-3y2-3y+
9
4
=-3(y+
1
2
)2+4b2+3，其中-b≤y≤b．
①若b＜
1
2
2，则当y=-b3时，|
AP
|4取得最大值．
由题设，(
7
)2=(b+
3
2
)2，b=
7
-
3
2
＞
1
2
，这与b＜
1
2
矛盾．             
②若b≥
1
2
，则当y=-
1
2
时，|
AP
|取得最大值．
由题设，(
7
)2=4b2+3，解得b=1，从而a=2．
故椭圆方程为
x2
4
+y2=1．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，若|F1F2|=2，椭圆的离心率为e=
1
2

（Ⅰ）求椭圆的标准方程，
（Ⅱ）若P是椭圆上的任意一点，求
PF1
•
PA
的取值范围
（III）直线l：y=kx+m与椭圆相交于不同的两点M，N（均不是长轴的顶点），AH⊥MN垂足为H且
AH
2=
MH
•
HN
，求证：直线l恒过定点．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦点F（-c，0）是长轴的一个四等分点，点A、B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且不与y轴垂直的直线l交椭圆于C、D两点，记直线AD、BC的斜率分别为k1，k2
（1）当点D到两焦点的距离之和为4，直线l⊥x轴时，求k1：k2的值；
（2）求k1：k2的值．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率是
3
2
，且经过点M（2，1），直线y=
1
2
x+m(m＜0)与椭圆相交于A，B两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）当m=-1时，求△MAB的面积；
（3）求△MAB的内心的横坐标．
（2013•威海二模）已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为e=
6
3
，过右焦点做垂直于x轴的直线与椭圆相交于两点，且两交点与椭圆的左焦点及右顶点构成的四边形面积为
2
6
3
+2．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设点M（0，2），直线l：y=1，过M任作一条不与y轴重合的直线与椭圆相交于A、B两点，若N为AB的中点，D为N在直线l上的射影，AB的中垂线与y轴交于点P．求证：
ND
•
MP
AB
2
为定值．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦点为F，过F作y轴的平行线交椭圆于M、N两点，若|MN|=3，且椭圆离心率是方程2x2-5x+2=0的根，求椭圆方程．

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