Question

如图, 已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形，AD∥BC，CE∥BG，且，平面ABCD⊥平面BCEG，BC=CD=CE=2AD=2BG=2.

（1）求证：AG平面BDE;

（2）求：二面角GDEB的余弦值.

 

Answer 1

（1）见解析（2）

【解析】

试题分析：（1）由题设，平面ABCD⊥平面BCEG，可证 两两垂直，据此建设立以 为坐标原点的空间直角坐标系，写出 诸点的坐标，求出平面 的一个法向量 ，由于，要证AG平面BDE，只要证即可；

（2）设平面的一个法向量为 ，由求出的坐标，最后利用向量 求出二面角GDEB的余弦值.

试题解析：

【解析】
由平面，平面

,

平面BCEG, ，

由平面，知，.2分

根据题意建立如图所示的空间直角坐标系，可得

.3分

（1）设平面BDE的法向量为，则

即 ， ，

平面BDE的一个法向量为..5分

，，

，∴AG∥平面BDE. .7分

（2）由（1）知

设平面EDG的法向量为，则 即

平面EDG的一个法向量为..9分

又平面BDE的一个法向量为，

设二面角的大小为，则，

二面角的余弦值为.12分

考点：1、空间直角坐系；2、利用空间向量的数量积判断空间中直线与平面的位置关系；3、利用空间向量的夹角求二面角的平面角的余弦.