Question

19.如图，正四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，底面边长为2，侧棱长为4.E、F分别为棱AB、BC的中点，EF∩BD＝G.

（1）求证：平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁；

（2）求点D₁到平面B₁EF的距离d;

（3）求三棱锥B₁－EFD₁的体积V.

Answer 1

19.

 （1）证法一：连结AC.

∵正四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁的底面是正方形，

∴AC⊥BD,又AC⊥D₁D，故AC⊥平面BDD₁B₁.

∵E、F分别为AB、BC的中点，故EF∥AC，

∴EF⊥平面BDD₁B₁,

∴平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁.

证法二：∵BE＝BF,∠EBD＝∠FBD＝45°,

∴EF⊥BD.

又EF⊥D₁D,

∴EF⊥平面BDD₁B₁，

∴平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁.

 

（2）在对角面BDD₁B₁中，作D₁H⊥B₁G，垂足为H.

 

∵平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁，且平面B₁EF∩平面BDD₁B₁＝B₁G，

 

∴D₁H⊥平面B₁EF，且垂足为H，

 

∴点D₁到平面B₁EF的距离d＝D₁H.

解法一：在Rt△D₁HB₁中，D₁H＝D₁B₁·sinD₁B₁H.

 

∵D₁B₁＝A₁B₁＝·2＝4,

 

sinD₁B₁H＝sinB₁GB＝,

 

∴d＝D₁H＝4·.

 

解法二：∵△D₁HB₁∽△B₁BG,

∴,

 

∴d＝D₁H＝.

 

解法三：连结D₁G，则三角形D₁GB₁的面积等于正方形DBB₁D₁面积的一半，

即·B₁G·D₁H＝B₁B²,

 

∴d＝D₁H＝.

（3）V＝V＝V＝·d·＝···2·　＝.