Question

已知函数f（x）=e^x+2x²-3x．
（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求证函数f（x）在区间[0，1]上存在唯一的极值点；
（3）当x≥

1

2

时，若关于x的不等式f(x)≥

5

2

x2+(a-3)x+1恒成立，试求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求出函数f（x）在x=1处的导数得到切线的斜率，然后求出切点坐标，利用点斜式方程表示出切线方程即可；
（2）先求f′（0）与f′（1），看两值是否异号，然后证明f′（x）在[0，1]上单调性，即可证明函数f（x）在区间[0，1]上存在唯一的极值点；
（3）将参数a分离出来，得到a≤

ex- 1 2 x2-1

x

在[

1

2

，+∞）上恒成立，然后利用导数研究不等式右边的函数在[

1

2

，+∞）上的最小值即可．

解答：解：（1）f′（x）=e^x+4x-3，则f'（1）=e+1，
又f（1）=e-1，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-e+1=（e+1）（x-1），
即（e+1）x-y-2=0；
（2）∵f′（0）=e⁰-3=-2＜0，f′（1）=e+1＞0，
∴f′（0）•f′（1）＜0，
令h（x）=f′（x）=e^x+4x-3，则h′（x）=e^x+4＞0，
∴f′（x）在[0，1]上单调递增，∴f′（x）在[0，1]上存在唯一零点，
∴f（x）在[0，1]上存在唯一的极值点；
（3）由f(x)≥

5

2

x2+(a-3)x+1，
得ex+2x2-3x≥

5

2

x2+(a-3)x+1，
即ax≤ex-

1

2

x2-1，
∵x≥

1

2

，∴a≤

ex- 1 2 x2-1

x

，
令g(x)=

ex- 1 2 x2-1

x

，则g′(x)=

ex(x-1)- 1 2 x2+1

x2

，
令?(x)=ex(x-1)-

1

2

x2+1，则?'（x）=x（e^x-1）
∵x≥

1

2

，∴?'（x）＞0，∴?（x）在[

1

2

，+∞)上单调递增，
∴?(x)≥?(

1

2

)=

7

8

-

1

2

e

＞0，
因此g'（x）＞0，故g（x）在[

1

2

，+∞)上单调递增，
则g(x)≥g(

1

2

)=

e 1 2 - 1 8 -1

1 2

=2

e

-

9

4

．
∴实数a的取值范围a≤2

e

-

9

4

．

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数恒成立问题等基础题知识，考查运算求解能力、推理论证能力，化归与转化思想，属于基础题．