Question

【题目】已知函数（且，e为自然对数的底数.）

（1）当时，求函数在处的切线方程；

（2）若函数只有一个零点，求a的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）代入，得，所以，求出，由直线方程的点斜式，即可得到切线方程；

（2）分和两种情况，考虑函数的最小值，令最小值等于0，即可得到a的值.

解：（1）当时，，

，，∴切线方程为 ;

（2），，

令，得，

1）当时，，

x
	－	0	＋
		极小值

所以当时，有最小值，.

因为函数只有一个零点，且当和时，都有，

所以，即，

因为当时，，所以此方程无解.

2）当时，，

x
	－	0	＋
		极小值

所以当时，有最小值，.

因为函数只有一个零点，且当和时，都有，

所以，即（）（*），

设（），则，

令，得，

当时，；当时，；

所以当时，，

所以方程（*）有且只有一解.

综上，时函数只有一个零点.