Question

已知a＞0且a≠1,设P:函数y=log_a(x+1)在x∈(0,+∞)内单调递减;Q:曲线y=x²+(2a-3)x+1与x轴交于不同的两点,如果P和Q有且只有一个正确,求a的取值范围.

Answer 1

解:当0＜a＜1时,函数y=log_a(x+1)在(0,+∞)内单调递减;当a＞1时,y=log_a(x+1)在(0,+∞)内不是单调递减.曲线y=x²+(2a-3)x+1与x轴交于不同两点等价于(2a-3)²-4＞0,即a＜或a＞.

(1)若P正确,且Q不正确,即函数y=log_a(x+1)在(0,+∞)内单调递减,曲线y=x²+(2a-3)x+1与x轴不交于两点,

此时a∈［,1).

(2)若P不正确,且Q正确,即函数y=log_a(x+1)在(0,+∞)内不是单调递减,曲线y=x²+(2a-3)x+1与x轴交于不同两点,

此时a∈(,+∞).

综上所述,a的取值范围是［,1)∪(,+∞).