题目内容

设{an}是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项和，求证：＜lgSn+1.

证法一：依题意，{an}的首项a1＞0，公比q＞0，故0＜Sn＜Sn+1＜Sn+2.

∵qSnSn+2=qSn(a1+qSn+1)＜a1qSn+1+q2SnSn+1=qSn+1(a1+qSn)=qSn+12，

∴SnSn+2＜Sn+12.∴＜lgSn+1.

证法二：依题意，首项a1＞0，Sn+1＞Sn，

故SnSn+2－Sn+12=Sn(a1+qSn+1)－Sn+1(a1+qSn)=a1(Sn－Sn+1)＜0.

∴SnSn+2＜Sn+12.

∴＜lgSn+1.

点评：利用对数函数的性质，将该问题等价转化为证明SnSn+2＜Sn+12.

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