Question

已知数列{a_n}中，a₁=3，a_n+1=2a_n-1（n≥1，n∈N）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设，数列{b_n}的前n项和为S_n，求证：．

Answer 1

【答案】分析：（1）由a_n+1=2a_n-1，得a_n+1-1=2（a_n-1），从而可得{a_n-1}是以2为首项，2为公比的等比数列，由此可求数列的通项公式；
（2）利用裂项法求出数列的和，即可证得结论．
解答：（1）解：由a_n+1=2a_n-1，得a_n+1-1=2（a_n-1），
又a₁-1=2，所以{a_n-1}是以2为首项，2为公比的等比数列
∴，即；
（2）证明：
=
∵，
∴．
点评：本题考查数列递推式，考查等比数列的证明，考查数列的通项与求和，属于中档题．