Question

已知函数f(x)=

cos2x

sin( π 4 -x)

．
（1）化简函数f（x）的解析式，并求其定义域和单调区间；
（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边为a，b，c，满足：a²+b²-c²=ab，求f（C）

Answer 1

分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式为2sin(x+

π

4

)，题意可得 sin(

π

4

-x)≠0，

π

4

-x≠kπ(k∈ z），由此求得函数的定义域．令 2kπ-

π

2

≤x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，
求出x的范围，即可求得函数增区间．令 2kπ+

π

2

≤x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求出x的范围，即可求得函数的减区间．
（2）由余弦定理求得cosC的值，可得C的值，从而求得f（C）的值．

解答：解：（1）∵f(x)=

cos2x-sin2x

sin π 4 cosx-cos π 4 sinx

 …2分
=

(cosx-sinx)(sinx+cosx)

2 2 (cosx-sinx)

=

2

(sinx+cosx)=2sin(x+

π

4

)，…4分
由题意可得 sin(

π

4

-x)≠0，∴

π

4

-x≠kπ(k∈ Z），故其定义域为{ x| x≠kπ+

π

4

，k∈z }．…6分
令 2kπ-

π

2

≤x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得2kπ-

3π

4

≤x≤2kπ+

π

4

，k∈z，
故函数f（x）的增区间为 (2kπ-

3π

4

，2kπ+

π

4

)，k∈z．
令 2kπ+

π

2

≤x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得 2kπ+

π

4

≤x≤2kπ+

5

4

π，k∈z，
故函数f（x）的减区间为(2kπ+

π

4

，2kπ+

5

4

π)，k∈z．
（2）∵c²=a²+b²-2ab•cosC，由余弦定理可得：cosC=

a2+ b2  -c2

2ab

=

1

2

，
∴C=

π

3

，∴f(C)=

2

(sinC+cosC)=

2 + 6

2

．…12分

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，两角和差的正弦公式、余弦定理的应用，属于中档题．