题目内容

若f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且对一切x＞0，满足f（
x
y
）=f（x）-f（y）
（1）求f（1）的值；
（2）请举出一个符合条件的函数f（x）；
（2）若f（6）=1，解不等式f（x+5）-f（
1
x
）＜2．
分析：（1）令x=y=1，即可求得f（1）=0；
（2）函数f（x）=log2x就是一个符合条件的函数；
（3）f（6）=1，依题意知，f（36）=2，f（x+5）-f（
1
x
）＜2?f（（x+5）x）＜f（36），利用f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，解相应的不等式组即可．
解答：解：（1）令x=y=1，
∴f（1）=f（1）-f（1）
∴f（1）=0；
（2）函数f（x）=log2x就是一个符合条件的函数，
∵log2(
x
y
)=log2x-log2y，
满足f（
x
y
）=f（x）-f（y）；
（3）∵f（6）=1，
∴2f（6）=f（36）=2，
∵f（x+5）-f（
1
x
）＜2，
∴f（（x+5）x）＜2，
∴f（（x+5）x）＜f（36），
∵f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，
∴（x+5）x＜36，
∴x∈（-9，4），又x+5＞0，
1
x
＞0，
∴x∈（0，4）即为所求．
点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查赋值法及函数单调性的应用，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
设y=f（x）是定义在区间（a，b）（b＞a）上的函数，若对?x1、x2∈（a，b），都有|f（x1）-f（x2）|≤|x1-x2|，则称y=f（x）是区间（a，b）上的平缓函数．
（1）试证明对?k∈R3，f（x）=x2+kx+14都不是区间（-1，1）5上的平缓函数；
（2）若f（x）是定义在实数集R上的、周期为T=2的平缓函数，试证明对?x1、x2∈R，|f（x1）-f（x2）|≤1．
14、下列命题中：
①若函数f（x）的定义域为R，则g（x）=f（x）+f（-x）一定是偶函数；
②若f（x）是定义域为R的奇函数，对于任意的x∈R都有f（x）+f（2-x）=0，则函数f（x）的图象关于直线x=1对称；
③已知x1，x2是函数f（x）定义域内的两个值，且x1＜x2，若f（x1）＞f（x2），则f（x）是减函数；
④若f （x）是定义在R上的奇函数，且f （x+2）也为奇函数，则f （x）是以4为周期的周期函数．
其中正确的命题序号是
①④
．
若f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且对一切x，y＞0，满足f（
x
y
）=f（x）-f（y）．
（Ⅰ）求f（1）的值；
（Ⅱ）若f（6）=1，解不等式f（x+3）-f（
1
3
）＜2．
已知下列命题四个命题：
①若f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，且在[-1，0）上是增函数，θ∈(
π
4
，
π
2
)，则f（sinθ）＞f（cosθ）；
②在△ABC中，A＞B是cosA＜cosB的充要条件；
③设函数f（x）=x2+2（-2≤x＜0），其反函数为f-1（x），则f-1（3）=-1或1．
④在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知b2+c2=a2+bc，则A=
π
3
．
其中真命题的个数有（　　）
若f（x）是定义在[0，+∞）上的增函数，则不等式f(2x-1)＜f(
13
)的解集为
 
．

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