Question

一个袋中有大小相同的标有1，2，3，4，5，6的6个小球，某人做如下游戏，每次从袋中拿一个球（拿后放回），记下标号．若拿出球的标号是3的倍数，则得1分，否则得-1分．
（1）求拿4次至少得2分的概率；
（2）求拿4次所得分数ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（1）拿4次至少得2分包括2分和4分两种情况，这两种情况是互斥的，根据独立重复试验的概率公式做出结果，再把两部分相加得到结果．
（2）看出变量的可能的取值，结合变量对应的事件，做出变量对应的概率和分布列，再做出变量对应的期望值．

解答：解：（1）设拿出球的号码是3的倍数的为事件A，则P（A）=

1

3

，
拿4次至少得2分包括2分和4分两种情况．
P1=

C

3 4

(

1

3

)3×

2

3

=

8

81

，P2=(

1

3

)4=

1

81

P=P₁+P₂=

1

9

…（5分）
（2）ξ的可能取值为-4，-2，0，2，4，
则P（ξ=-4）=(

2

3

)4=

16

81

；  P（ξ=-2）=

C

1 4

×

1

3

×(

2

3

)3=

32

81

P（ξ=0）=

C

2 4

×(

1

3

)2×(

2

3

)2=

24

81

     P（ ξ=2）=

8

81

，P（ ξ=4）=

1

81

∴分布列为

P	-4	-2	0	2	4
ξ	16 81	32 81	24 81	8 81	1 81

∴Eξ=-4×

16

81

+(-2)×

32

81

+2×

8

81

+4×

1

81

=-

3

4

…（14分）

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，本题解题的关键是利用独立重复试验的概率公式做出概率的值，本题是一个中档题目．