Question

下列结论中，正确的有________（写出所有正确结论的序号）
①若定义在R上的函数f（x）满足f（2010）＞f（2009），则函数f（x）在R上不是单调减函数；
②若定义在R上的函数f（x）在区间（-∞，0]上是单调减函数，在区间（0，+∞）上也是单调减函数，则函数函数f（x）在R上是单调减函数；
③若定义在R上的函数f（x）满足f（-2010）=-f（2010），则函数f（x）是奇函数；
④若定义在R上的函数f（x）满足f（-2010）≠f（2010），则函数f（x）不是偶函数．

Answer 1

①④
分析：逐个判断四个命题的真假，对于①可以通过逆否命题得出它是真命题；对于②给出反例可得它是假命题；对于③给出反例f（x）=x²-2010²可得它是假命题；对于④可以通过逆否命题得出它是真命题．
解答：对于①，变形为“定义在R上的函数f（x）是单调减函数，则满足f（2010）≤f（2009）”，显然是真命题；
对于②，给出函数，在区间（-∞，0]上是单调减函数，在区间（0，+∞）上也是单调减函数，但函数f（x）在R上不是单调减函数，说明②是假命题；
对于③，给出函数f（x）=x²-2010²，满足f（-2010）=-f（2010），但函数f（x）不是奇函数说明③是假命题；
对于④，逆否命题为“定义在R上的函数f（x）是偶函数，则f（-2010）=f（2010）”显然是真命题．
故答案为：①④
点评：本题考查了函数的单调性的判断与证明，属于基础题，熟练掌握单调性的定义是解决本题的关键．注意逆否命题的应用．