Question

已知数列{a_n}的前 n项和 S_n=32n－n²，求数列 {|a_n|}的前n项和 T_n.

   

Answer 1

思路分析：由S_n可求出a_n，从而确定在{a_n}中哪些项是正数项，哪些项是负数项，再来求{|a_n|}的前n项和.在首项为正数，公差为负数的等差数列中，最后一个正数项的项数就是满足使a_n＞0的最大的n的值，同理，在首项为负数，公差为正数的等差数列中，最后一个负数项的项数就是满足使a_n＜0的最大的n的值.

    解：当n≥2时，a_n=S_n－S_n－1=（32n－n²）－［32(n-1)-(n-1)²］=33－2n.

    又a_n=S₁=31适合上式，

    ∴a_n=33－2n.

    由a_n=33－2n≥0得n≤=16.5.∴等差数列{a_n}中前16项为正数项，从第17项开始，各项为负数，因此，

    当0＜n≤16时，T_n=S_n=32－n²；

    当n≥17时，

    T_n=S₁₆－（a₁₇+a₁₈+a₁₉+…+a_n）=2S₁₆－S_n

    =－(32－n²)+2(32×16－16²)

    =n²－32n+512.

    综上所述，T_n=32-n²，0＜n≤16，

n²-32n+512，n≥17.