Question

判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
（1）f（x）=-8x²+7x+1；
（2）f（x）=x²+x+2；
（3）f（x）=

x2+4x-12

x-2

；
（4）f（9x）=3^x+1-7；
（5）f（x）=log₅（2x-3）．

Answer 1

分析：本题考查函数零点的求法，根据不同的条件使用不同的方法求解．

解答：解：（1）因为f（x）=-8x²+7x+1=-（8x+1）（x-1），令f（x）=0，解得x=-

1

8

或x=1，所以函数的零点为-

1

8

和1．
（2）令x²+x+2=0，因为△=（-1）²-4×1×2=-7＜0，所以方程无实数根，所以f（x）=x²+x+2不存在零点．
（3）因为f（x）=

x2+4x-12

x-2

=

(x+6)(x-2)

x-2

，令

(x+6)(x-2)

x-2

=0，解得x=-6，所以函数的零点为-6．
（4）设t=9x，则x=

t

9

，所以f(t)=3

t

9

+1-7，即 f(x)=3

x

9

+1-7，令f(x)=3

x

9

+1-7=0，解得x=9log?3

7

3

，所以函数的零点为9log₃

7

3

．
（5）令log₅（2x-3）=0，解得x=2，所以函数的零点为2．

点评：本题考查函数零点的求法．对应（4）题的零点求法比较难，通过换元可以解决问题．